Donner un développement asymptotique de [formule] quand [formule].
Le reste de la somme géométrique est EXACT : servez-vous en. Puis regardez ce qui arrive si vous sommez la série obtenue à [formule] fixé.
Un développement asymptotique n'est pas un développement en série : il décrit le comportement quand [formule] à un ordre fixé, et la suite obtenue ici diverge pour tout [formule]. C'est le point de l'exercice, et il change complètement la façon de s'en servir. Rappel — Ce que signifie [formule] ici. Écrire [formule] affirme que, [formule] étant fixé, l'erreur est petite devant le dernier terme retenu quand [formule]. Cela ne dit rien de ce qui se passe à [formule] fixé quand [formule] — et c'est précisément là que tout se joue. Le développement. [formule] — l'identité de la somme géométrique finie, exacte, avec son reste. On intègre alors contre [formule], ce qui est licite terme à terme puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de termes. Les intégrales. [formule], d'où [formule], soit [formule] ⚠️ La série [formule] DIVERGE pour tout [formule], puisque [formule] écrase toute puissance. Elle n'est donc pas la somme de [formule] : ajouter des termes finit par éloigner du résultat au lieu d'en rapprocher. La troncature optimale, mesurée. Il existe un rang idéal, autour de [formule], au-delà duquel l'erreur remonte. Pour [formule] : la meilleure approximation est atteinte à [formule] (erreur [formule]), puis l'erreur vaut [formule] à [formule] et [formule] à [formule]. Pour [formule] : optimum à [formule] (erreur [formule]). Plus [formule] est grand, plus on peut aller loin, et plus la précision atteignable est fine — de l'ordre de [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Traiter le développement asymptotique comme une série convergente et « sommer jusqu'à convergence ». Il n'y a pas de convergence : le critère d'arrêt est le plus petit terme, pas la stabilisation. Second point de rigueur : justifier que le reste est bien [formule] — cela vient de [formule] pour [formule], ce qui donne un reste majoré par [formule]. 💡 À retenir. Les développements asymptotiques divergents sont la règle et non l'exception : Stirling, la méthode de Laplace, la phase stationnaire en produisent tous. Leur utilité est pratique — quelques termes suffisent à une excellente précision — et ils sont souvent plus efficaces qu'une série convergente, qui peut demander des milliers de termes.