Calculer le déterminant de [formule].
Opérations sur les colonnes ou formule de Vandermonde.
Le résultat se retient, mais la méthode vaut mieux que la formule : voir le déterminant comme un polynôme en une des variables donne la démonstration en trois lignes et se généralise à toute taille. On donnera aussi le calcul par opérations élémentaires, qui est celui que l'énoncé suggère. Rappel — la formule générale. Pour [formule], [formule] En taille [formule] avec [formule], cela fait [formule]. Contrôles : pour [formule] le déterminant vaut [formule], et [formule] ✓ ; pour [formule], il vaut [formule], et [formule] ✓ ; pour [formule], il vaut [formule], comme le produit — deux points confondus annulent tout. Première méthode — le déterminant comme polynôme en [formule]. Développons selon la dernière ligne : [formule] est un polynôme en [formule] de degré au plus [formule]. Or il s'annule pour [formule] et pour [formule], puisque deux lignes deviennent alors identiques. Donc [formule] et le coefficient [formule] est celui de [formule], c'est-à-dire le cofacteur de [formule] — soit le Vandermonde [formule] en [formule], qui vaut [formule]. D'où [formule]. Cette démonstration est celle qui se généralise : par récurrence sur [formule], en regardant le déterminant comme un polynôme en [formule]. Seconde méthode — opérations élémentaires. [formule] puis [formule] annulent la première ligne sauf son premier terme : [formule] L'ordre des opérations compte : faire [formule] avant [formule] modifierait [formule] et fausserait la seconde soustraction. Les deux opérations sont du type [formule] avec [formule], donc elles ne changent pas le déterminant. Ce que le résultat sert à établir. [formule] si et seulement si les [formule] sont deux à deux distincts. C'est exactement l'énoncé du théorème d'interpolation : le système donnant les coefficients du polynôme passant par [formule] points est de Cramer précisément quand les abscisses sont distinctes. Le même déterminant apparaît dans la théorie des différences finies, dans les schémas de quadrature de Gauss, et dans la démonstration que les caractères [formule] sont linéairement indépendants. ⚠️ Attention au SENS du produit. La formule est [formule] et non [formule] : intervertir donne un signe [formule], soit [formule] en taille [formule]. Sur [formule] on obtiendrait [formule] au lieu de [formule]. Le contrôle le plus simple est de tester la formule sur [formule], où le déterminant vaut [formule] : si votre convention rend [formule], elle est inversée. 💡 À retenir. Deux réflexes que cet exercice installe. Devant un déterminant dépendant polynomialement d'un paramètre, chercher les valeurs qui l'annulent — deux lignes égales, une colonne nulle — puis identifier le coefficient dominant : c'est souvent plus rapide que tout développement. Et retenir l'équivalence « Vandermonde inversible [formule] points distincts », qui est la forme algébrique du théorème d'interpolation.