Calculer det([[a,b,c],[c,a,b],[b,c,a]]).
Diagonaliser via les racines de l'unité.
Développer ce déterminant à la main est possible mais aveugle. Le voir comme une matrice circulante donne les trois valeurs propres explicitement, donc le déterminant comme produit — et surtout la méthode se généralise à toute taille, ce qu'un développement ne fait pas. Rappel — pourquoi les racines de l'unité diagonalisent les circulantes. Une matrice circulante [formule] d'ordre [formule] s'écrit [formule], où [formule] est la matrice du décalage cyclique et [formule] le polynôme des coefficients. Or [formule], donc [formule] est annulée par [formule], scindé à racines simples sur [formule] : [formule] est diagonalisable de valeurs propres les racines [formule]-ièmes de l'unité, avec pour vecteurs propres [formule]. Les valeurs propres de [formule] sont donc les [formule], dans la même base. Application. Ici [formule], [formule] et [formule]. Les trois valeurs propres sont [formule] et le déterminant est leur produit. La forme réelle. Comme [formule] et [formule] sont conjuguées (pour [formule] réels), leur produit est réel : [formule] en développant et en utilisant [formule]. D'où [formule] la seconde égalité étant l'identité classique. Contrôles numériques sur quatre triplets : [formule], [formule], [formule], [formule] — les trois expressions (déterminant développé, forme factorisée, produit des valeurs propres) concordent à chaque fois. Ce que le cas dégénéré révèle. Pour [formule], le déterminant s'annule : la matrice est alors [formule], de rang [formule]. Plus généralement [formule] dès que [formule] a une racine parmi les racines de l'unité — le noyau est alors engendré par le vecteur [formule] correspondant. C'est une caractérisation complète de la singularité, qu'un développement ne donnerait pas. ⚠️ Il faut respecter le SENS du décalage. La matrice de l'énoncé a pour lignes [formule], [formule], [formule] : chaque ligne est la précédente décalée vers la droite. Avec la convention inverse — décalage vers la gauche —, les valeurs propres deviennent [formule], ce qui échange [formule] et [formule]. Le déterminant est heureusement le même, les deux étant conjuguées, mais ce ne serait plus vrai pour une question portant sur une valeur propre individuelle. 💡 À retenir. La diagonalisation des circulantes est la transformée de Fourier discrète : la matrice de passage est la matrice de Vandermonde des racines de l'unité, et le passage aux valeurs propres est le calcul d'une DFT. C'est pour cela que la multiplication par une circulante — donc la convolution cyclique — se calcule en [formule] par FFT au lieu de [formule]. Le déterminant [formule] est, lui, le résultant de [formule] et de [formule].