Soit [formule]. Montrer que [formule] vérifie [formule].
Dérivez terme à terme, regroupez, puis simplifiez [formule]. Surveillez les bornes de sommation à chaque étape.
Vérifier une équation différentielle sur une série entière est un exercice de réindexation, pas d'analyse : on dérive terme à terme, on somme, et on cherche à retrouver la série de départ après un décalage d'indice. Le seul vrai travail est de faire coïncider les bornes de sommation. Rappel — Dérivation terme à terme. Une série entière est de classe [formule] à l'intérieur de son disque de convergence, et s'y dérive terme à terme autant de fois qu'on veut, sans changement de rayon. C'est un théorème, pas une manipulation formelle — mais il ne vaut que sur l'ouvert. Rayon de convergence. Avec [formule], on a [formule] : le rayon est infini, [formule] est définie et [formule] sur [formule] tout entier. La dérivation terme à terme est donc licite partout. Les deux dérivées. [formule] — le terme [formule] est constant, il disparaît — et [formule]. La combinaison. [formule]. Le terme [formule] de la première somme serait nul (facteur [formule]) : on peut donc la faire démarrer à [formule] et regrouper — [formule]. La simplification, qui est le cœur. [formule]. Le [formule] du numérateur est exactement absorbé par le carré. En posant [formule] : [formule]. L'équation [formule] est donc vérifiée — contrôlée numériquement en trois points. ⚠️ L'erreur classique. Faire démarrer les sommes au mauvais rang, ou oublier de vérifier que le terme ajouté est nul avant de recaler une borne. Ici on fait descendre la première somme de [formule] à [formule], et c'est licite parce que le facteur [formule] annule ce terme — l'écrire est ce qui distingue une réindexation d'un tour de passe-passe. Second oubli : le rayon de convergence, sans lequel la dérivation terme à terme n'est pas justifiée. 💡 À retenir. Cette fonction n'est pas une curiosité : [formule], où [formule] est la fonction de Bessel modifiée d'ordre [formule] — vérifié numériquement à dix décimales. L'équation [formule] est la forme dégénérée de l'équation de Bessel, et le procédé « série entière [formule] équation différentielle » est justement la méthode qui définit les fonctions spéciales.