Montrer que l'ensemble [formule] des nombres décimaux [formule] ([formule], [formule]) est dense dans [formule], et en déduire la densité de [formule].
Graduez par [formule] plutôt que par [formule] : la troncature obtenue est exactement le développement décimal de [formule].
Ce n'est pas tout à fait le même énoncé que la densité de [formule] : on montre ici que les nombres décimaux suffisent déjà. C'est un résultat plus fort, et il a une conséquence concrète — le développement décimal d'un réel en est une approximation aussi fine qu'on veut. Rappel — Nombres décimaux. [formule] est l'ensemble des rationnels dont l'écriture décimale est finie. C'est un sous-anneau strict de [formule] : [formule]. Montrer [formule] entraîne donc la densité de [formule], mais la réciproque serait insuffisante. Soient [formule] et [formule]. Comme [formule], choisissons [formule] tel que [formule]. Posons [formule], donc [formule]. En divisant par [formule] : [formule]. D'où [formule]. Le décimal [formule] approche [formule] à [formule] près : [formule] est dense dans [formule], et a fortiori [formule] aussi puisque [formule]. Ce que cela dit du développement décimal. [formule] n'est rien d'autre que la troncature de [formule] à [formule] décimales. La démonstration établit donc que tout réel est la limite de ses troncatures décimales — c'est la justification de l'écriture [formule] ⚠️ L'erreur classique. Confondre densité et dénombrabilité. [formule] est dense dans [formule] et pourtant dénombrable : « il y en a partout » ne veut pas dire « il y en a autant ». À l'inverse [formule] est infini et n'est dense nulle part. La densité est une propriété topologique, pas de cardinal. 💡 À retenir. Pour montrer qu'une partie [formule] est dense, le critère commode est : tout intervalle ouvert non vide rencontre [formule]. Ici la graduation par [formule] fournit des crans arbitrairement serrés, donc aucun intervalle ne peut les éviter — remplacer [formule] par [formule] donne les dyadiques, et la démonstration est mot pour mot la même.