Densité de ℚ dans ℝ

Énoncé

Montrer que [formule] est dense dans [formule] : pour tout [formule] et [formule], il existe [formule] tel que [formule].

Indication

Utiliser la partie entière.

Solution

Soit x [formule] 0. Choisir n [formule] tel que 1/n < [formule]. Soit [formule] (partie entière de [formule]). Alors [formule], donc [formule]. |x − p/n| < 1/n < [formule] Donc [formule] convient.