Montrer que [formule] est dense dans [formule] : pour tout [formule] et [formule], il existe [formule] tel que [formule].
Choisissez d'abord la finesse [formule] (Archimède), puis tronquez [formule] — et non [formule].
Approcher [formule] à [formule] près par un rationnel, c'est trouver une graduation assez fine pour que [formule] tombe entre deux crans voisins. Les crans, ce sont les [formule] ; toute la démonstration consiste à choisir [formule], puis à lire le cran juste en dessous de [formule] avec la partie entière. Rappel — Propriété d'Archimède. Pour tout [formule] il existe [formule] tel que [formule]. C'est elle le moteur du résultat : dans un corps ordonné non archimédien, [formule] ne serait pas dense. Soient [formule] et [formule]. Par Archimède, choisissons [formule] tel que [formule] : c'est la finesse de graduation. La partie entière n'est pas gratuite non plus. Que [formule] existe — c'est-à-dire qu'il y ait un plus grand entier [formule] — découle aussi d'Archimède : l'ensemble [formule] est non vide et majoré précisément parce qu'il existe un entier [formule]. Sans la propriété d'Archimède, ni la graduation ni la troncature n'auraient de sens. Posons [formule], de sorte que [formule] par définition de la partie entière. En divisant par [formule] : [formule]. D'où [formule], c'est-à-dire [formule] avec [formule]. Comme [formule] et [formule] étaient quelconques, [formule] est dense dans [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Prendre [formule] au lieu de [formule] : on approche alors [formule] à [formule] près, quelle que soit la finesse choisie. C'est bien [formule] qu'on tronque, puis qu'on redivise — la graduation doit être appliquée avant l'arrondi. Piège plus discret : l'existence de la partie entière n'est pas gratuite, elle découle elle aussi d'Archimède. Un exemple entièrement déroulé. Approchons [formule] à [formule] près. On choisit [formule], car [formule]. Alors [formule], donc [formule], et le rationnel obtenu est [formule]. L'écart vaut [formule], effectivement inférieur à [formule] — et même trois fois meilleur que la borne, ce qui est normal : la borne majore le pire cas. 💡 À retenir. Le schéma « graduer, tronquer, rediviser » démontre la densité de bien d'autres ensembles : les décimaux, les dyadiques [formule], ou [formule] pour [formule] irrationnel. Ce qui change est la graduation disponible, jamais la mécanique.