Montrer que [formule] avec [formule] forme une base hilbertienne de [formule].
Vérifiez l'orthonormalité, puis la complétude par « orthogonal à tout ⟹ nul ». Attention au passage de la norme uniforme à la norme [formule].
Ne pas confondre avec la densité dans [formule] : on travaille ici dans [formule], pour la norme quadratique, et l'on veut une propriété plus forte qu'une densité — une base hilbertienne, c'est-à-dire une famille orthonormée dont les combinaisons linéaires sont denses. C'est elle qui donne Parseval et l'égalité de Bessel. Rappel — Base hilbertienne. Une famille orthonormée [formule] d'un espace de Hilbert [formule] en est une base hilbertienne si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée : ses combinaisons linéaires finies sont denses ; ou bien la seule [formule] orthogonale à tous les [formule] est [formule]. C'est la seconde qu'on vérifie ici, souvent la plus commode. Orthonormalité. Pour [formule] : [formule], l'exponentielle étant [formule]-périodique. Et pour [formule], l'intégrande vaut [formule], d'où [formule]. La famille est bien orthonormée. Complétude — la partie qui demande du travail. Soit [formule] telle que [formule] pour tout [formule] ; montrons [formule] presque partout. Par linéarité, [formule] est orthogonale à tout polynôme trigonométrique. Premier maillon : la densité uniforme. Par Fejér (ou Stone-Weierstrass), les polynômes trigonométriques sont denses dans [formule] pour [formule]. Or sur un intervalle borné, [formule] : la convergence uniforme entraîne la convergence [formule]. Ils sont donc aussi denses dans [formule] pour la norme [formule]. Second maillon : [formule] est dense dans [formule]. C'est un résultat de théorie de la mesure (régularité de la mesure de Lebesgue, ou théorème de Lusin). En composant les deux densités, les polynômes trigonométriques sont denses dans [formule]. Conclusion. [formule] est orthogonale à une partie dense de [formule], donc à [formule] tout entier par continuité du produit scalaire — en particulier à elle-même : [formule], donc [formule] dans [formule], c'est-à-dire presque partout. [formule] est une base hilbertienne. ⚠️ L'erreur classique. Sauter le passage de la norme uniforme à la norme [formule] en le jugeant évident. Il l'est ici parce que l'intervalle est borné ; sur [formule], la convergence uniforme n'entraîne pas la convergence [formule] — la suite [formule] tend uniformément vers [formule] et vérifie [formule]. Oublier ce maillon, c'est utiliser une implication fausse en général. 💡 À retenir. Une base hilbertienne donne trois choses d'un coup : la décomposition [formule] en norme [formule] (jamais ponctuellement — c'est une autre question, bien plus difficile), l'égalité de Parseval [formule], et l'isométrie entre [formule] et [formule]. C'est ce dernier point qui fait de la théorie [formule] de Fourier la plus simple des trois — bien plus que la théorie ponctuelle ou uniforme.