Densité des polynômes trigonométriques dans $L^2$

Énoncé

Montrer que [formule] avec [formule] forme une base hilbertienne de [formule].

Indication

Montrer l'orthonormalité puis la complétude via Weierstrass.

Solution

**Orthonormalité** : [formule]. **Complétude** : Si [formule] pour tout [formule], montrer [formule] p.p. Les coefficients de Fourier de [formule] sont nuls : [formule] pour tout [formule]. Par Weierstrass trigonométrique, les combinaisons linéaires des [formule] sont denses dans [formule]. [formule] dense dans [formule] : donc [formule] dans [formule]. C'est la base de l'analyse de Fourier [formule] (théorème de Parseval). [formule]