Dénombrer les morphismes de groupes [formule].
L'image de [formule] détermine [formule], et son ordre divise [formule].
Le résultat est un cas particulier d'une formule qui vaut la peine d'être connue : [formule]. Le raisonnement qui y mène est celui qu'on refait pour tout morphisme partant d'un groupe cyclique, et il tient en une observation. Un morphisme partant d'un groupe cyclique est déterminé par l'image d'un générateur. [formule] est engendré par [formule], donc [formule] pour tout [formule] : la donnée de [formule] détermine entièrement [formule]. Reste à savoir quelles valeurs sont admissibles. La contrainte. Dans [formule] on a [formule], donc l'image doit vérifier [formule] Réciproquement, cette condition suffit à ce que [formule] soit bien définie : sans elle, [formule] et [formule] auraient deux images différentes alors qu'ils sont égaux. C'est le point à ne pas escamoter — on ne vérifie pas seulement que [formule] est un morphisme, on vérifie qu'elle existe. Résolution. Posons [formule]. La condition [formule] s'écrit [formule], soit [formule], soit [formule] pair. Les valeurs admissibles sont donc [formule] et il y a exactement [formule] morphismes. On peut aussi le lire en termes d'ordres : [formule] doit diviser [formule], or il divise déjà [formule], donc il divise [formule] — et [formule], cyclique, contient exactement un sous-groupe d'ordre [formule], à savoir [formule]. La formule générale. [formule] La condition [formule] équivaut à [formule], ce qui laisse exactement [formule] valeurs. Contrôles : [formule], [formule], et [formule] — dans ce dernier cas seul le morphisme nul existe, les ordres étant premiers entre eux. ⚠️ Compter les morphismes n'est pas compter les morphismes INJECTIFS, ni les surjectifs. Ici les [formule] morphismes ont pour images [formule], [formule], [formule] et [formule] à nouveau : aucun n'est injectif (il faudrait [formule]) et aucun n'est surjectif (l'image est d'ordre divisant [formule]). Les questions « combien de morphismes », « combien d'injections » et « combien d'automorphismes » ont trois réponses différentes, et la troisième vaut ici [formule]. 💡 À retenir. Le réflexe : un morphisme depuis un groupe cyclique est déterminé par l'image d'un générateur, et la seule contrainte est que l'ordre de cette image divise celui du générateur. Cela règle d'un coup les questions de dénombrement, et cela redonne au passage [formule] — tout élément convient, [formule] étant libre.