Toute matrice inversible [formule] s'écrit [formule] où [formule] orthogonale et [formule] symétrique définie positive.
Considérer A^T A.
La démonstration est courte, mais elle repose sur un point qu'on ne peut pas escamoter : l'existence et l'unicité de la racine carrée symétrique définie positive. C'est là que le théorème spectral intervient, et c'est ce qui rend la décomposition unique. [formule] est symétrique définie positive. Symétrique : [formule]. Définie positive : pour [formule], [formule] la stricte positivité venant de l'inversibilité de [formule], qui garantit [formule]. La racine carrée, et pourquoi elle est unique. Par le théorème spectral, [formule] avec [formule] orthogonale et [formule]. On pose [formule] qui est symétrique définie positive et vérifie [formule]. L'unicité demande un argument : si [formule] est une autre racine symétrique définie positive, elle commute avec [formule], donc elle stabilise les sous-espaces propres de [formule] ; sur le sous-espace propre associé à [formule], [formule] est symétrique définie positive de carré [formule], donc égale à [formule] — la racine positive d'un réel positif étant unique. D'où [formule]. La partie orthogonale. Posons [formule], licite puisque [formule] est inversible. Alors [formule] en utilisant [formule]. Donc [formule] est orthogonale, et [formule]. Unicité de la décomposition. Si [formule], alors [formule] et de même [formule] : les deux racines coïncident par l'unicité ci-dessus, donc [formule] puis [formule]. La décomposition polaire est donc unique pour [formule] inversible. L'interprétation géométrique. [formule] symétrique définie positive se diagonalise en base orthonormée : c'est une dilatation de rapports [formule] selon [formule] axes orthogonaux. Toute application linéaire inversible est donc la composée d'une telle dilatation et d'une isométrie — c'est l'analogue matriciel de l'écriture [formule] d'un complexe non nul, d'où le nom. Contrôle sur [formule] : les valeurs propres de [formule] valent [formule] et [formule], donc [formule] dilate de [formule] et [formule] ; et [formule], comme il se doit puisque [formule]. ⚠️ Pour [formule] non inversible, la décomposition existe encore mais [formule] n'est plus unique. [formule] reste symétrique positive — seulement positive — et admet une unique racine positive [formule], mais [formule] n'est plus inversible et [formule] n'a plus de sens. On complète alors [formule] arbitrairement sur [formule], ce qui laisse une latitude. C'est pourquoi l'énoncé se restreint à [formule]. 💡 À retenir. Les [formule] sont les valeurs singulières de [formule], et diagonaliser [formule] dans [formule] donne exactement la décomposition en valeurs singulières [formule]. Deux conséquences structurelles : [formule] est homéomorphe à [formule], donc il a deux composantes connexes comme [formule] ; et [formule] est un rétracte par déformation de [formule], ce qui ramène l'étude topologique du groupe linéaire à celle du groupe orthogonal, compact.