Décomposition polaire

Énoncé

Toute matrice inversible [formule] s'écrit [formule] où [formule] orthogonale et [formule] symétrique définie positive.

Indication

Considérer A^T A.

Solution

Posons S = A^T A. S est symétrique définie positive [formule] > 0 pour [formule]. Par théorème spectral, [formule] symétrique définie positive unique telle que [formule]. Posons [formule]. [formule] = I. Donc O orthogonale et A = OP.