Décomposition de Dunford

Énoncé

Montrer que toute matrice [formule] s'écrit de manière unique [formule] où [formule] diagonalisable, [formule] nilpotente, et [formule].

Indication

Réduction de Jordan.

Solution

Par réduction de Jordan, [formule] où [formule] ([formule] diagonale, [formule] strictement triangulaire supérieure). Posons [formule] et [formule]. Alors A = D + N, D diagonalisable, N nilpotente (car N' nilpotente). DN = ND car D'N' = N'D' (commuent dans J). Unicité : si [formule] avec commutation, montrer [formule] et [formule] par annulation mutuelle.