Montrer que toute matrice [formule] s'écrit de manière unique [formule] où [formule] diagonalisable, [formule] nilpotente, et [formule].
Réduction de Jordan.
L'existence se déduit de Jordan en trois lignes. L'unicité, que la rédaction d'origine expédiait en « montrer [formule] par annulation mutuelle », est la partie qui mérite d'être écrite : elle repose entièrement sur le fait que deux endomorphismes diagonalisables qui commutent sont codiagonalisables. Rappel — l'énoncé. Pour [formule], il existe un unique couple [formule] avec [formule], [formule] diagonalisable, [formule] nilpotente et [formule]. La condition de commutation fait partie de l'énoncé : sans elle il n'y a aucune unicité, et l'on peut décomposer n'importe comment. Existence, par Jordan. Écrivons [formule] avec [formule] sous forme de Jordan. Décomposons [formule], où [formule] est la diagonale de [formule] et [formule] la partie strictement triangulaire supérieure — celle-ci n'a que des [formule] sur la surdiagonale à l'intérieur des blocs, donc elle est nilpotente. Sur chaque bloc, [formule] est scalaire, donc elle commute avec [formule]. En posant [formule] et [formule], on obtient la décomposition voulue. Unicité — la démonstration complète. Supposons [formule], chaque couple commutant. Premier pas : [formule] commute avec [formule], donc avec [formule] ; de même [formule] commute avec [formule]. Second pas, qui est le vrai argument : [formule] commute avec [formule] — cela demande de savoir que [formule] est un polynôme en [formule], ce qu'on obtient par interpolation sur les projecteurs spectraux. Alors [formule] et [formule] sont deux diagonalisables qui commutent, donc codiagonalisables, et leur différence [formule] est diagonalisable. De même [formule] et [formule] commutent, et une somme de nilpotentes qui commutent est nilpotente, donc [formule] est nilpotente. Or [formule] un même endomorphisme à la fois diagonalisable et nilpotent : ses valeurs propres sont toutes nulles et il est diagonalisable, donc il est nul. D'où [formule] et [formule]. La forme forte, qui est celle qu'on utilise. [formule] et [formule] sont des polynômes en [formule] — sans terme constant si [formule] est inversible. Conséquence pratique : tout ce qui commute avec [formule] commute automatiquement avec [formule] et avec [formule], ce qui évite de le revérifier à chaque fois. ⚠️ L'énoncé est faux sur [formule], et pour une raison de fond. Il exige que [formule] soit scindé — c'est le cas sur [formule], jamais garanti sur [formule]. Contre-exemple : [formule], de polynôme caractéristique [formule], sans racine réelle. Une décomposition [formule] sur [formule] forcerait [formule] diagonalisable sur [formule], or [formule] ne l'est pas et [formule] nilpotente de taille [formule] imposerait [formule] et [formule] — l'analyse échoue. Sur [formule], en revanche, [formule] est diagonalisable et [formule]. 💡 À retenir. Dunford est ce qui rend calculables les fonctions de matrices : [formule] où [formule] se calcule dans une base propre et [formule] est un polynôme (la série s'arrête à l'indice de nilpotence). Même mécanique pour [formule] par le binôme — licite précisément grâce à [formule] — et pour la résolution des systèmes différentiels linéaires. La décomposition est plus faible que Jordan mais bien plus facile à obtenir, et elle suffit à presque tous les usages.