Soit [formule] pour [formule]. Étudier convergence simple/uniforme et [formule].
Cherchez le maximum de [formule] : où est-il, et combien vaut-il ? Puis comparez [formule] à [formule].
Trois questions qui n'en font qu'une : c'est le même exemple qui montre que la convergence simple n'entraîne pas la convergence uniforme, et que sans convergence uniforme on ne peut pas intervertir limite et intégrale. La bosse de [formule] se déplace vers [formule] en grandissant, et c'est elle qui emporte tout. Rappel — Interversion limite/intégrale. Si [formule] uniformément sur un segment [formule], alors [formule]. La convergence simple ne suffit pas : c'est ce que cet exercice illustre. Convergence simple. [formule] pour tout [formule]. Et pour [formule] fixé, [formule], car l'exponentielle décroissante l'emporte sur le facteur [formule]. Donc [formule] simplement sur [formule]. Étude du maximum. [formule], qui s'annule en [formule] — point qui appartient bien à [formule] et se rapproche de [formule] quand [formule] grandit. La norme infinie explose. [formule]. Elle ne tend donc pas vers [formule] : pas de convergence uniforme — et pas même de convergence uniforme locale au voisinage de [formule]. L'intégrale. Le changement de variable [formule] (donc [formule]) donne [formule]. La conclusion, et c'est le sujet. [formule] tandis que [formule]. Les deux diffèrent : on ne peut pas intervertir. Une aire égale à [formule] s'est concentrée dans une bosse de plus en plus fine et haute, avant de « sortir » par le bord en [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Écrire [formule] parce que « [formule] tend vers [formule] ». Il faut une hypothèse : convergence uniforme, ou domination par une fonction intégrable. Ici aucune des deux n'est disponible — un dominant [formule] devrait majorer des bosses de hauteur [formule], donc ne peut pas être intégrable. La convergence dominée échoue pour la même raison que la convergence uniforme. 💡 À retenir. L'image de la bosse glissante est le contre-exemple universel de ce chapitre : une masse constante qui se déplace ou se concentre. Elle donne du même coup un défaut de convergence uniforme et un défaut d'interversion, et la variante [formule] fait la même chose en s'échappant à l'infini.