Critère d'Eisenstein pour l'irréductibilité

Énoncé

Montrer que [formule] X + 1 est irréductible sur [formule].

Indication

Composer avec X+1 puis Eisenstein.

Solution

Posons [formule]. Considérons Q(X) = P(X+1) = [(X+1)[formule] Pour p=5 : 5|5, 5|10, 5|10, 5|5, mais 25∤5. Par Eisenstein, Q irréductible sur [formule] Donc P(X) = Q(X-1) aussi irréductible.