Montrer que [formule] X + 1 est irréductible sur [formule].
Composer avec X+1 puis Eisenstein.
Eisenstein ne s'applique pas directement à ce polynôme : ses coefficients valent tous [formule], et aucun premier ne peut les diviser. La méthode consiste à translater la variable pour faire apparaître un premier convenable — c'est le geste standard quand le critère échoue, et il faut savoir pourquoi il est licite. Identifier le polynôme. [formule] est la somme d'une suite géométrique : [formule] C'est le cinquième polynôme cyclotomique [formule], dont les racines sont les racines cinquièmes de l'unité autres que [formule]. Pourquoi la translation est licite. L'application [formule] est un automorphisme de l'anneau [formule] — sa réciproque est [formule] —, et elle conserve le degré. Elle transforme donc toute factorisation en factorisation de même forme : [formule] est irréductible si et seulement si [formule] l'est. La translation ne change pas le problème, seulement les coefficients. Le calcul. [formule] Le passage par la forme [formule] évite de développer un polynôme de degré [formule] en [formule] : c'est le binôme de Newton qui fait le travail. Eisenstein avec [formule]. Coefficient dominant [formule], non divisible par [formule]. ✓ Coefficients [formule], [formule], [formule], [formule] : tous divisibles par [formule]. ✓ Terme constant [formule], non divisible par [formule]. ✓ Donc [formule] est irréductible sur [formule], et [formule] l'est aussi. Le cas général tombe sans effort supplémentaire. Pour tout premier [formule], [formule] Les coefficients binomiaux [formule] pour [formule] sont tous divisibles par [formule] — le numérateur [formule] contient [formule], que [formule] ne peut pas compenser puisque [formule] est premier et [formule] — et le terme constant vaut [formule], non divisible par [formule]. Eisenstein s'applique donc pour tout [formule] premier : [formule] est irréductible. Vérifié pour [formule]. ⚠️ La translation ne marche pas toujours, et il faut savoir quand renoncer. Aucune valeur de [formule] ne rendra [formule] eisensteinien — et pourtant ce polynôme est irréductible sur [formule] (c'est [formule]). Il faut alors la réduction modulo [formule], ou un argument sur les racines. Deuxième réflexe utile : la translation [formule] n'a rien de canonique, [formule] marche pour d'autres [formule] ; ici [formule] est le bon choix parce qu'il place la racine [formule] de [formule] à l'origine, ce qui concentre les divisibilités. 💡 À retenir. L'irréductibilité de [formule] est le résultat qui fonde la théorie : elle dit que [formule], donc que le corps cyclotomique a exactement le degré attendu. C'est de là que partent la théorie de Galois des extensions abéliennes et le théorème de Gauss-Wantzel sur les polygones constructibles à la règle et au compas. Le cas général [formule], pour [formule] non premier, est irréductible aussi, mais la démonstration est nettement plus délicate — Eisenstein n'y suffit plus.