Étudier la convergence de [formule] en utilisant le critère de d'Alembert.
Factorielle et puissance [formule]-ième se simplifient dans un quotient : calculez [formule] en utilisant [formule].
Le terme général mêle une factorielle et une puissance [formule]-ième : deux objets qui se simplifient très mal isolément, mais admirablement dans un quotient de deux termes consécutifs. C'est la signature du critère de d'Alembert. Rappel — Critère de d'Alembert. Soit [formule] à termes strictement positifs telle que [formule]. Si [formule] la série converge ; si [formule] elle diverge ; si [formule] le critère ne conclut pas. Ici [formule] pour [formule] : le critère s'applique. Formons le quotient : [formule]. On simplifie les factorielles par [formule], ce qui laisse [formule]. Or [formule]. Comme [formule], le critère donne la divergence de [formule]. La divergence est bien plus brutale que « [formule] » ne le laisse croire. La suite [formule] est croissante et vaut déjà [formule] en [formule] : le quotient [formule] est donc [formule] dès le premier rang, ce qui signifie que le terme général au moins double à chaque étape. Les valeurs le confirment : [formule], [formule], [formule], [formule]. On n'est pas près d'une frontière de convergence — on en est très loin, et le critère ne fait que le constater. Ce que [formule] signifie vraiment. À partir d'un certain rang le quotient dépasse [formule], donc [formule] croît et ne peut pas tendre vers [formule] : la série diverge grossièrement. Stirling le confirme, [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Traiter [formule] comme un cas de convergence. C'est le cas indécis : [formule] diverge et [formule] converge, alors que le quotient tend vers [formule] dans les deux cas. Second piège : appliquer d'Alembert à une série dont les termes changent de signe — le critère exige [formule]. 💡 À retenir. Factorielles ou puissances [formule]-ièmes [formule] d'Alembert, parce que le quotient les simplifie. Si le quotient tend vers [formule], changer d'outil : Raabe-Duhamel, une comparaison, ou un équivalent par Stirling.