Déterminer la nature de [formule] en fonction de [formule].
Primitivez, mais traitez [formule] à part. Puis demandez-vous ce qui change si la borne problématique est [formule] au lieu de [formule].
L'intégrale se calcule explicitement : il suffit de primitiver [formule] et de regarder ce que devient la primitive en [formule]. Le seul point d'attention est le cas [formule], où la forme de la primitive change complètement. Rappel — Intégrale impropre. [formule] converge si et seulement si [formule] existe et est finie. Pour [formule], l'intégrale partielle est croissante en [formule] : elle converge ou tend vers [formule], sans autre possibilité. Cas [formule]. Une primitive de [formule] est [formule], d'où [formule]. Tout dépend du signe de l'exposant [formule] : si [formule] il est négatif, [formule] et l'intégrale converge vers [formule] ; si [formule] il est positif, [formule] et elle diverge. Cas [formule], où la primitive n'est plus une puissance : [formule]. L'intégrale diverge. C'est le cas frontière, et il faut le traiter à part — la formule précédente y donnerait une division par zéro. Conclusion. [formule] converge [formule], et vaut alors [formule]. ⚠️ L'erreur classique : croire que le seuil est le même en [formule]. Il s'inverse. [formule] converge si et seulement si [formule] — même calcul, mais c'est [formule] en [formule] qu'on regarde. Retenir le sens plutôt que le seuil : à l'infini il faut décroître vite ([formule] grand), en zéro il faut exploser lentement ([formule] petit). Conséquence directe : [formule] diverge pour tout [formule]. 💡 À retenir. Ce sont les intégrales de référence de tout le chapitre : on ne redémontre pas leur nature, on s'y compare. Et le parallèle avec les séries est exact à l'infini — [formule] converge aussi ssi [formule], par comparaison série-intégrale — mais il n'y a pas d'équivalent en zéro, une série n'ayant pas de borne inférieure.