Utiliser la condensation pour étudier [formule].
Le facteur [formule] de la condensation doit se simplifier avec le [formule] du dénominateur. Vérifiez d'abord la décroissance.
Aucun critère usuel ne mord sur [formule] : le terme est plus petit que [formule] mais bien plus grand que [formule] pour [formule], donc la comparaison de Riemann est muette. La condensation, elle, transforme la série en une autre où les logarithmes s'effondrent d'un cran. Rappel — Critère de condensation de Cauchy. Si [formule] est positive et décroissante, alors [formule] et [formule] sont de même nature. L'idée : on regroupe les termes par paquets de longueurs [formule] et on encadre chaque paquet par son premier et son dernier terme. Vérification de l'hypothèse. Pour [formule], [formule] et le produit [formule] est croissant : [formule] est donc positive et décroissante. Le critère s'applique à partir de ce rang — et la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes. Condensation. [formule]. Le facteur [formule] s'est entièrement simplifié : c'est tout l'intérêt de la manœuvre. Quand [formule], [formule], donc [formule] : les deux séries sont de même nature par comparaison de termes positifs équivalents. Nature de la série obtenue. [formule] diverge, par comparaison série-intégrale : [formule] est décroissante et [formule]. Donc [formule] diverge. ⚠️ L'erreur classique. Appliquer la condensation sans vérifier la décroissance — c'est l'unique hypothèse, et elle est indispensable : le critère est faux sans elle. Second piège, plus insidieux : conclure de la petitesse des termes. La divergence est ici imperceptible numériquement — la somme partielle vaut [formule] à [formule] et seulement [formule] à [formule], car elle croît comme [formule]. Aucun calcul numérique ne pourra jamais la distinguer d'une série convergente. 💡 À retenir. La condensation est l'outil des séries de Bertrand [formule] : chaque application fait descendre les logarithmes d'un étage. Elle donne d'un coup le critère de Riemann ([formule] converge ssi [formule]) et celui de Bertrand, et c'est la façon la plus économique de les retenir.