Calculer la courbure de l'ellipse [formule] en tout point.
Formule [formule].
La formule s'applique mécaniquement, et la simplification du numérateur est spectaculaire — il vaut [formule], constant. Le résultat mérite ensuite d'être lu : où la courbure est-elle maximale, et que devient l'ellipse quand elle s'aplatit ? Rappel — la formule. Pour une courbe plane régulière [formule], [formule] Le numérateur est la valeur absolue du déterminant [formule], qui mesure à quel point la vitesse tourne ; le dénominateur normalise pour que [formule] ne dépende pas du paramétrage, seulement de la courbe géométrique. Les dérivées. [formule], [formule], puis [formule], [formule]. Le déterminant vaut [formule] Il est constant — l'aire du parallélogramme formé par la vitesse et l'accélération ne varie pas le long de l'ellipse, ce qui est la version infinitésimale de la loi des aires de Kepler. Le résultat. [formule], donc [formule] Contrôle : pour [formule] on obtient [formule], la courbure du cercle. ✓ Aux sommets, et ce que cela dit de la forme. En [formule], le point est [formule] — extrémité du grand axe si [formule] — et [formule]. En [formule], le point est [formule] et [formule]. Avec [formule], [formule] : [formule] contre [formule], soit un rapport de [formule]. La courbure est maximale aux extrémités du grand axe — ce sont les points les plus « pointus » de l'ellipse, ce que le dessin confirme. Les rayons de courbure correspondants sont [formule] et [formule]. ⚠️ Le paramètre [formule] n'est PAS l'angle polaire du point. Pour [formule], le point [formule] fait avec l'axe un angle [formule], différent de [formule] sauf aux sommets. Le paramètre [formule] est l'anomalie excentrique — l'angle vu sur le cercle circonscrit —, et confondre les deux fausse toute interprétation angulaire du résultat, bien que [formule] reste correcte comme fonction de [formule]. Le comportement asymptotique. Quand [formule] à [formule] fixé, l'ellipse s'aplatit sur le segment [formule] : [formule] tandis que [formule]. La courbe devient un segment parcouru dans les deux sens, avec deux rebroussements aux extrémités — c'est là que la courbure explose, exactement comme aux points de rebroussement de l'astroïde. 💡 À retenir. Le rayon de courbure [formule] est celui du cercle osculateur, qui approche la courbe à l'ordre [formule]. Retenir aussi les deux formes de la formule : [formule] en paramétrique, et [formule] pour un graphe — la seconde est le cas particulier [formule].