Étudier la cardioïde [formule] en polaires.
Points doubles, tangentes, courbure.
Une courbe en polaires s'étudie autrement qu'en cartésiennes : on exploite d'abord les symétries pour réduire l'intervalle, puis on lit la forme sur les valeurs remarquables de [formule]. Le passage aux coordonnées cartésiennes n'est utile que pour les tangentes, et il vaut mieux ne le faire qu'à ce moment-là. Symétrie et intervalle d'étude. [formule] est [formule]-périodique et paire : [formule], donc la courbe est symétrique par rapport à l'axe [formule]. Il suffit de l'étudier sur [formule] et de compléter par réflexion. Sur cet intervalle [formule] décroît de [formule] à [formule] — la courbe s'enroule d'un seul tenant vers l'origine. Les points remarquables. En [formule] : [formule], point [formule], le plus éloigné de l'origine. En [formule] : [formule], point [formule]. En [formule] : [formule], la courbe passe par l'origine. Comme [formule] y change de comportement sans changer de signe, c'est un point de rebroussement, et la tangente y est la droite [formule], c'est-à-dire l'axe [formule] — règle générale : en un point où [formule] s'annule, la tangente est la droite d'angle polaire correspondant. Le vecteur tangent. En cartésiennes, [formule] et [formule], d'où après simplification [formule] Il s'annule en [formule] — le point y est stationnaire, ce qui confirme le rebroussement et explique pourquoi la formule cartésienne ne donne pas la tangente là-bas. L'aire. La formule polaire donne [formule] Le terme en [formule] s'intègre à zéro sur une période, et [formule] à [formule] par la valeur moyenne [formule]. Contrôle numérique : [formule], et [formule]. ✓ La longueur, qui se calcule exactement. [formule] Or [formule], donc l'intégrande vaut [formule] et [formule] — contrôlé numériquement. La valeur de bonne mine est trompeuse : la plupart des longueurs d'arc ne sont pas calculables en forme close, et c'est la simplification par l'angle moitié qui sauve celle-ci. ⚠️ Ne pas confondre « [formule] s'annule » et « la courbe s'arrête ». En [formule] la courbe passe par l'origine et repart — l'origine n'est pas une extrémité mais un point de rebroussement de première espèce. Et attention au signe : ici [formule] partout, mais pour une courbe où [formule] change de signe (comme [formule]), un [formule] négatif place le point dans la direction opposée à [formule], ce qui double le nombre de pétales par rapport à ce qu'on attend. 💡 À retenir. La méthode pour une courbe polaire : période et symétries d'abord (elles divisent le travail), puis le tableau de variation de [formule], puis les points où [formule] s'annule ou est extrémal. L'aire est [formule] et la longueur [formule] — deux formules à ne pas intervertir. La cardioïde est l'épicycloïde à un rebroussement, et c'est aussi la caustique d'un cercle éclairé par une source sur son bord.