Montrer que le groupe multiplicatif [formule] d'un corps fini à [formule] éléments est cyclique.
Utiliser la structure des groupes abéliens finis et le nombre de racines d'un polynôme.
L'argument par comptage est élégant mais son pas central est souvent expédié. Il repose sur une inégalité terme à terme entre deux suites de même somme, et non sur une inversion de Möbius. Et il exige une hypothèse qu'il faut savoir localiser : [formule] doit être un corps. Rappel — le lemme des racines, et où il sert. Dans un corps (ou plus généralement un anneau intègre), un polynôme non nul de degré [formule] a au plus [formule] racines. Appliqué à [formule] : l'équation [formule] a au plus [formule] solutions dans [formule]. C'est la seule fois où la structure de corps intervient, et tout l'argument en dépend. Le comptage. Posons [formule] avec [formule], et notons [formule] le nombre d'éléments de [formule] d'ordre exactement [formule]. Tout élément a un ordre divisant [formule] (Lagrange), donc [formule] Par ailleurs, l'identité classique donne [formule] pour l'indicatrice d'Euler. Le pas central : [formule] pour tout [formule]. Deux cas. Si [formule], l'inégalité est vraie. Sinon, soit [formule] d'ordre [formule] : le sous-groupe [formule] contient [formule] éléments, tous solutions de [formule] ; le lemme des racines interdit qu'il y en ait d'autres, donc toutes les solutions sont les puissances de [formule]. Or parmi [formule], ceux d'ordre exactement [formule] sont les [formule] avec [formule] : il y en a [formule]. D'où [formule] dans ce cas. Conclusion. On a deux suites positives, [formule] et [formule], de même somme [formule] sur les diviseurs de [formule], avec [formule] terme à terme. L'égalité des sommes force alors l'égalité partout : [formule] pour tout [formule]. En particulier [formule] donc il existe un élément d'ordre [formule] : [formule] est cyclique. ⚠️⚠️ Le lemme des racines est FAUX hors d'un corps, et le résultat tombe avec lui. Dans [formule], l'équation [formule] a quatre solutions parmi les inversibles — [formule] — au lieu de deux au plus. Et de fait [formule] n'est pas cyclique : ses quatre éléments ont pour ordres [formule], c'est le groupe de Klein. Même situation pour [formule]. Le résultat ne vaut donc que pour [formule] premier — ou plus précisément pour [formule]. Ce que la démonstration donne de plus. Elle est valable pour tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps commutatif quelconque, pas seulement [formule] : rien n'utilise la finitude du corps, seulement celle du groupe. Elle s'applique donc à [formule] pour toute puissance de premier [formule], et aux racines de l'unité de [formule]. 💡 À retenir. L'existence d'un générateur — une racine primitive modulo [formule] — est ce qui fonde le logarithme discret, donc la cryptographie de Diffie-Hellman et d'ElGamal. Noter la nature de la démonstration : elle prouve l'existence par un comptage, sans exhiber aucun générateur. Il n'existe d'ailleurs aucune formule connue pour en produire un, et les trouver se fait par essais.