Calculer [formule] où [formule] et [formule].
La fenêtre est [formule]. Le seul cas délicat est celui où elle contient le point [formule] où la valeur absolue change de forme.
Convoler par une indicatrice, c'est faire une moyenne glissante : [formule] est l'intégrale de [formule] sur une fenêtre de largeur [formule] centrée en [formule]. Toute la difficulté vient de la valeur absolue dans [formule], qui change de formule quand [formule] traverse [formule] — d'où la disjonction de cas, et elle seule. Rappel — Produit de convolution. [formule]. Ici [formule] annule l'intégrande hors de [formule], donc [formule]. Cas [formule]. Pour tout [formule] on a [formule], donc [formule] : la valeur absolue ne change pas de forme sur la fenêtre. [formule]. Cas [formule]. Symétriquement [formule], et [formule]. Les deux cas extérieurs se résument donc en [formule]. Cas [formule], le seul où la fenêtre contient le point de rupture. On coupe en [formule] : [formule], et [formule]. En additionnant : [formule] pour [formule]. Le résultat est plus fort qu'il n'en a l'air. En [formule], les deux expressions valent [formule] : [formule] est continue. Mieux, leurs dérivées y coïncident aussi (elles valent [formule]), donc [formule] est [formule] sur [formule] tout entier — alors que [formule] ne l'est pas en [formule] et que [formule] n'est même pas continue. La convolution a régularisé. ⚠️ L'erreur classique. Conclure « [formule] par morceaux » et s'arrêter. C'est passer à côté du sujet : la convolution gagne en régularité, elle n'en perd pas. Le contrôle à faire est le raccord aux points de rupture [formule] — et il révèle ici que [formule] est [formule] mais pas [formule] (les dérivées secondes y valent [formule] à gauche et [formule] à droite). 💡 À retenir. La règle générale : [formule] et [formule] à support compact donnent [formule]. C'est le mécanisme des approximations de l'unité et de la régularisation par noyau — on convole avec une fonction lisse pour lisser sans déformer.