Montrer que [formule] (mesure de Lebesgue) au sens vague.
Tester sur [formule] et reconnaître une somme de Riemann.
Le calcul est une somme de Riemann, donc l'exercice paraît trivial. Son intérêt est ailleurs : il donne l'exemple le plus simple d'une suite de mesures purement atomiques convergeant vers une mesure diffuse, ce qui est impossible pour toute notion de convergence plus forte. Comprendre pourquoi éclaire ce que le mot « vague » veut dire. Rappel — convergence vague. Une suite de mesures [formule] converge vaguement vers [formule] lorsque [formule] Rien n'est demandé pour les fonctions seulement mesurables, ni même pour les fonctions continues bornées sans support compact — c'est cette restriction de la classe de test qui rend la convergence « vague ». Le calcul. Pour [formule] continue, [formule] puisque [formule] met la masse [formule] en chacun des points [formule]. On reconnaît la somme de Riemann à droite de la subdivision régulière de [formule], qui converge vers [formule] par uniforme continuité de [formule] sur ce compact. Donc [formule] vaguement. Contrôle numérique et vitesse. Avec [formule], la somme vaut [formule] pour [formule], [formule] pour [formule] et [formule] pour [formule], contre [formule] à la limite. L'écart est de [formule], [formule] puis [formule] : il décroît en [formule], conformément au terme d'erreur [formule] d'une somme de Riemann à droite pour une fonction [formule]. ⚠️ La convergence ne vaut PAS pour les fonctions seulement mesurables, et le contre-exemple est immédiat. Prenons [formule], bornée et mesurable. Tous les points [formule] étant rationnels, [formule] pour tout [formule], alors que [formule] puisque [formule] est négligeable. L'écart ne tend pas vers [formule] : il vaut [formule] pour tout [formule]. La continuité de la fonction test n'est donc pas une commodité de démonstration, c'est la substance de la définition. La distance en variation totale, elle, ne bouge jamais. [formule] est portée par un ensemble fini, donc [formule]-négligeable, tandis que [formule] ne charge aucun point : les deux mesures sont étrangères, et [formule] pour tout [formule]. On a donc une suite qui converge vaguement tout en restant à distance maximale en variation totale — c'est l'illustration la plus nette de la hiérarchie des convergences de mesures. Le lien avec Monte-Carlo, et une idée reçue à corriger. Remplacer la grille [formule] par [formule] tirages uniformes indépendants donne aussi la convergence, mais l'erreur y est en [formule] au lieu de [formule]. En dimension [formule], la grille déterministe est donc nettement meilleure : à [formule] sur [formule], elle donne [formule] contre environ [formule] pour Monte-Carlo. L'avantage de Monte-Carlo n'apparaît qu'en dimension [formule], où une grille à [formule] points n'a que [formule] points par axe et voit son erreur passer à [formule], alors que le [formule] probabiliste, lui, ne dépend pas de la dimension. Le croisement se situe vers [formule] ou [formule]. 💡 À retenir. Trois convergences de mesures, de la plus faible à la plus forte : vague (fonctions continues à support compact), étroite (continues bornées, ce qui interdit à la masse de fuir à l'infini), variation totale (mesurables bornées). Cet exemple les sépare toutes : il converge vaguement et étroitement — tout vit dans le compact [formule] — mais reste à distance [formule] en variation totale.