Montrer que si [formule] converge vers [formule], alors [formule] quand [formule].
Remplacez les [formule] par les restes [formule], qui eux tendent vers [formule]. L'identité obtenue porte un facteur [formule] — que va-t-il simplifier ?
Le résultat n'est pas anodin : la convergence de [formule] ne dit rien de la régularité de la somme au bord du disque, et il faut un argument spécifique. L'outil est la transformation d'Abel, qui remplace les [formule] — dont on ne contrôle que les sommes — par les restes [formule], qui eux tendent vers [formule]. Rappel — Les restes. Posons [formule] pour [formule], et [formule]. La convergence de [formule] vers [formule] signifie exactement [formule], et l'on a [formule]. Enfin [formule] tend vers [formule] donc est bornée : le rayon de convergence de [formule] est au moins [formule], et [formule] est bien définie sur [formule]. La transformation. Pour [formule], toutes les séries ci-dessous convergent absolument, ce qui autorise à réarranger : [formule]. En regroupant les deux sommes en [formule] : [formule]. C'est l'identité centrale, et tout le reste en découle : le facteur [formule] va écraser la somme quand [formule]. Majoration, en coupant la somme en deux. Soit [formule]. Comme [formule], il existe [formule] tel que [formule] pour [formule]. On sépare alors, pour [formule] : [formule]. Le second morceau se majore par [formule] — le facteur [formule] se simplifie exactement avec la somme géométrique, et c'est là que l'identité prend tout son sens. Le premier est majoré par [formule] où [formule] est une constante fixée (elle ne dépend que de [formule], donc de [formule], pas de [formule]). Conclusion. [formule], puisque [formule]. Ceci valant pour tout [formule], on obtient [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Croire que la réciproque est vraie. Elle est fausse : [formule] quand [formule], alors que [formule] diverge. L'existence de la limite radiale n'entraîne donc pas la convergence de la série — c'est le sujet des théorèmes taubériens, qui la rétablissent sous une hypothèse supplémentaire (Tauber : [formule] ; Littlewood : [formule] bornée). Second piège : choisir [formule] après [formule], ce qui rendrait [formule] dépendante de [formule] et ferait s'effondrer la majoration. 💡 À retenir. Abel radial est ce qui autorise à évaluer une série entière au bord de son disque quand la série numérique correspondante converge. C'est lui qui légitime [formule] et [formule] à partir des développements de [formule] et [formule], valables a priori seulement sur [formule].