Soit [formule] i.i.d. de loi [formule]. Montrer que [formule] converge en loi vers [formule].
TCL avec [formule] et [formule].
C'est le même énoncé que l'exercice voisin, écrit sur la moyenne plutôt que sur la somme : [formule] et [formule] sont la même quantité. L'intérêt propre de cette version est un fait numérique remarquable qui apparaît en [formule], et qui a longtemps servi en pratique. Les deux écritures sont identiques. [formule], donc [formule] Le passage de l'une à l'autre est une simplification, pas un changement de contenu — mais il faut savoir laquelle des deux normalisations un énoncé emploie, car [formule] se normalise par [formule] et [formule] par [formule] au numérateur du dénominateur, ce qui prête à confusion. Les moments et la conclusion. [formule], [formule], donc [formule] et [formule]. Les hypothèses du théorème central limite étant vérifiées — indépendance, même loi, variance finie non nulle — on conclut [formule]. Le cas [formule], et pourquoi il est célèbre. Pour [formule] le facteur [formule] se simplifie avec la moyenne : [formule] Additionner douze tirages uniformes et retrancher [formule] donne donc, sans aucune division ni racine, une variable de variance exactement [formule] et de loi très proche de [formule]. C'était le générateur gaussien standard des bibliothèques de calcul avant que la méthode de Box-Muller ne s'impose. Aussi proche, mais de combien ? Il faut le mesurer. La loi exacte de [formule] est celle d'Irwin-Hall recentrée, et la comparaison avec [formule] donne un écart maximal des fonctions de répartition de [formule] — atteint vers [formule]. Au centre, l'approximation est donc excellente. Les queues, elles, se dégradent : [formule] vaut [formule] contre [formule] pour la vraie gaussienne, et [formule] vaut [formule] contre [formule] — presque quatre fois trop peu. ⚠️ Et le défaut est structurel, pas seulement quantitatif. [formule] est bornée : chaque [formule] vivant dans [formule], on a toujours [formule], alors qu'une gaussienne dépasse [formule] avec probabilité [formule]. L'approximation ne peut donc jamais produire un événement extrême, si petit soit-il. Pour une simulation de risque — sinistres, krachs, ruptures — c'est exactement l'information qu'on cherche, et elle est absente par construction. L'excès de kurtosis vaut [formule] au lieu de [formule] : la loi est trop peu aplatie, ce qui est la signature d'une queue trop mince. 💡 À retenir. Le TCL est un énoncé asymptotique au centre : la convergence des queues est toujours plus lente que celle du corps de la distribution. D'où deux réflexes. Ne jamais utiliser une approximation normale pour estimer une probabilité d'événement rare sans borne d'erreur — c'est le domaine des grandes déviations, pas du TCL. Et se souvenir qu'une somme de variables bornées reste bornée, quel que soit le nombre de termes.