Identifier et réduire C : [formule].
Forme quadratique associée puis translation.
C'est le cas dégénéré de la réduction des coniques : [formule], il n'y a pas de centre, et le raccourci qui marche pour les ellipses et hyperboles est inapplicable. Il faut faire le changement de repère en entier — et l'exercice montre pourquoi on ne peut pas conclure avant de l'avoir fait. La partie quadratique est un carré parfait. [formule], de matrice [formule], de rang [formule]. Ses valeurs propres sont [formule] et [formule] : [formule], la conique est de type parabolique. Le repère propre. Le vecteur [formule] est propre pour [formule], et [formule] pour [formule]. On pose donc [formule] Report dans l'équation. [formule], et pour la partie linéaire [formule] L'équation devient [formule] Le terme en [formule] subsiste, et c'est cela qui décide : la variable dont la valeur propre est nulle apparaît encore au premier degré, donc on peut la résoudre — c'est une parabole. Réduction finale. En complétant le carré en [formule] : [formule], d'où [formule] Sous la forme [formule], le paramètre vaut [formule]. Les éléments, avec leurs contrôles. Le sommet est [formule], soit [formule] ; contrôle : [formule] annule bien l'équation de départ. L'axe est la droite [formule], c'est-à-dire [formule]. Le foyer est à distance [formule] du sommet le long de l'axe, soit [formule] ; contrôles : [formule] est sur l'axe ([formule] ✓) et [formule] ✓. ⚠️ La droite [formule] est dirigée par [formule], non par [formule]. Le vecteur [formule] en est la normale — c'est le vecteur propre associé à [formule], donc la direction dans laquelle la conique est « courbée », pas celle de l'axe. On le vérifie sur les points : [formule], proportionnel à [formule]. Confondre un vecteur directeur et une normale est l'erreur la plus facile à commettre quand on lit une droite sous forme d'équation. ⚠️ [formule] ne suffit pas à conclure « parabole ». Si le terme en [formule] avait disparu, on aurait obtenu [formule], c'est-à-dire selon le discriminant : deux droites parallèles, une droite double, ou l'ensemble vide. Le type parabolique regroupe donc quatre cas, et seul le changement de repère les distingue — on ne peut pas trancher sur le seul déterminant. 💡 À retenir. La classification complète repose sur deux déterminants : celui de [formule] pour le type (elliptique, hyperbolique, parabolique) et celui de la matrice [formule] homogène pour le caractère propre ou dégénéré. Le second est nul exactement dans les cas dégénérés — point, droites, vide. Retenir aussi la marche : diagonaliser, reporter, puis compléter les carrés en autant de variables que de valeurs propres non nulles.