Soit [formule]. Montrer que [formule] est relativement compact dans [formule].
Les hypothèses d'Ascoli sont immédiates. La vraie question : pourquoi « relativement » compacte, et pas compacte ?
L'énoncé demande la compacité relative, et le mot « relative » n'est pas une précaution de langage : [formule] n'est pas compact, parce qu'il n'est pas fermé dans [formule]. Comprendre pourquoi est plus instructif que la vérification des hypothèses d'Ascoli, qui est immédiate. Rappel — Ascoli. Sur un compact [formule], une partie [formule] est relativement compacte (son adhérence est compacte) si et seulement si elle est ponctuellement bornée et équicontinue. « Relativement compacte » n'entraîne « compacte » que si [formule] est de plus fermé. Bornitude. Immédiate : [formule] pour tout [formule], donc [formule] est même uniformément bornée. Équicontinuité. Pour [formule] et [formule], l'inégalité des accroissements finis donne [formule]. Le module de continuité [formule] est le même pour toute la famille : c'est exactement l'équicontinuité, et elle est ici uniforme. Ascoli s'applique donc : [formule] est relativement compacte dans [formule]. Pourquoi [formule] n'est PAS compacte. Elle n'est pas fermée. Considérons [formule] : chaque [formule] est [formule], bornée par [formule], de dérivée bornée par [formule] en valeur absolue — donc [formule]. Or [formule] converge uniformément vers [formule], qui n'est pas dérivable en [formule] : la limite n'appartient pas à [formule]. Ce qu'est vraiment l'adhérence. [formule] est l'ensemble des fonctions [formule]-lipschitziennes bornées par [formule] — un ensemble strictement plus grand que [formule], et lui, compact. Le passage à la limite uniforme conserve la constante de Lipschitz mais perd la dérivabilité : c'est toute la différence entre les deux ensembles. ⚠️ L'erreur classique. Confondre « relativement compact » et « compact », ou croire que [formule] passe à la limite uniforme. Elle ne passe pas — la dérivée n'est pas continue pour la norme uniforme, et c'est même le contraire : une suite peut converger uniformément pendant que ses dérivées divergent, comme [formule] dont la dérivée [formule] explose. 💡 À retenir. Une borne sur la dérivée est la façon la plus courante d'obtenir l'équicontinuité, et elle donne toujours le module [formule]. Pour transformer la compacité relative en compacité, il faut ajouter une hypothèse fermée pour la norme choisie — ici « [formule]-lipschitzienne » convient, « de classe [formule] » non.