Calculer [formule].
Lequel des deux facteurs se simplifie quand on le dérive ? Et essayez ensuite [formule].
Le produit [formule] mêle un polynôme et une fonction trigonométrique : aucune primitive ne se lit directement. L'intégration par parties est faite pour cela — à condition de choisir le bon rôle pour chaque facteur, et ce choix n'est pas arbitraire. Rappel — Intégration par parties. [formule]. On dérive [formule] et on primitive [formule] : il faut donc dériver le facteur qui se simplifie et primitiver celui qui ne s'aggrave pas. Le choix. On pose [formule] et [formule], donc [formule] et [formule]. Dériver [formule] le fait disparaître, tandis que primitiver [formule] redonne un cosinus, tout aussi simple : l'intégrale restante sera plus facile que celle de départ. [formule]. Le crochet vaut [formule], et [formule]. Le détail du crochet, où se logent les erreurs de signe. [formule] vaut la valeur en [formule] moins celle en [formule] : soit [formule]. Le signe positif vient de la conjonction de deux moins — celui de [formule] et celui de [formule] — et c'est exactement là qu'on se trompe. L'intégrale restante est nulle, et pour une raison qu'il vaut mieux voir que calculer : [formule], le cosinus étant antisymétrique autour de [formule] sur cet intervalle — ce qu'il gagne avant [formule], il le perd après. D'où [formule]. Une seconde méthode, sans aucun calcul de primitive. Le changement de variable [formule] laisse [formule] invariant : [formule]. Donc [formule] et [formule]. C'est la symétrie de [formule] autour de [formule] qui fait tout le travail. ⚠️ L'erreur classique. Poser [formule] et [formule]. On obtient alors [formule] : le polynôme est monté en degré et l'intégrale est pire qu'au départ. Le test est immédiat — si l'intégrale restante est plus compliquée, on a inversé les rôles. 💡 À retenir. Pour [formule] avec [formule] polynomial et [formule], poser toujours [formule] : chaque IPP abaisse son degré de [formule], donc [formule] intégrations par parties suffisent. Et devant une intégrale sur [formule] ou [formule], penser d'abord à la symétrie [formule] ou [formule] : elle règle parfois tout d'un coup.