Un joueur commence avec [formule] euros. À chaque tour, il gagne 1€ avec probabilité [formule] ou perd 1€ avec probabilité [formule]. Il s'arrête à [formule] ou [formule]. Calculer la probabilité de ruine [formule].
Résoudre [formule] avec [formule], [formule].
La récurrence [formule] traduit un conditionnement sur le premier coup, et se résout comme une suite linéaire d'ordre [formule]. Le calcul est court ; ce qui mérite le détour est la taille du résultat — un désavantage de un pour cent transforme un jeu apparemment équilibré en ruine quasi certaine. Mise en équation. Notons [formule] la probabilité de ruine en partant de [formule] euros. En conditionnant sur le premier coup — gain avec probabilité [formule], perte avec probabilité [formule] — la propriété de Markov donne [formule] avec les conditions aux bords [formule] (déjà ruiné) et [formule] (déjà sorti gagnant). C'est une récurrence linéaire d'ordre [formule] à coefficients constants, avec deux conditions aux extrémités et non deux conditions initiales. Résolution. L'équation caractéristique s'écrit [formule], de discriminant [formule] et de racines [formule] et [formule]. Cas [formule] : les racines sont distinctes, [formule], et les deux conditions aux bords donnent [formule] Cas [formule] : racine double [formule], donc [formule], et les bords donnent [formule]. Contrôle : les deux formules vérifient bien [formule] et [formule]. L'ordre de grandeur, qui est le vrai enseignement. Prenons [formule] et [formule] — le joueur mise la moitié de la fortune totale en jeu. [formule] Un point de désavantage fait passer la ruine de une chance sur deux à neuf sur dix ; deux points, à quarante-neuf sur cinquante. La raison est que le facteur [formule] vaut déjà [formule] pour [formule] : un biais minuscule, élevé à la puissance [formule], devient écrasant. Ce que ça dit d'un casino. L'avantage de la maison à la roulette européenne est de [formule], donc [formule] sur une mise simple. Le joueur, lui, a une fortune finie face à une maison de fortune quasi infinie — c'est le cas limite [formule], où [formule] Autrement dit, face à un adversaire de fortune illimitée, la ruine est certaine dès que le jeu n'est pas favorable — y compris dans le cas parfaitement équitable [formule]. ⚠️ Le cas [formule] n'est pas la limite continue des autres, il faut le traiter à part. L'équation caractéristique y a une racine double, donc la forme générale n'est plus [formule] mais [formule]. Écrire [formule] avec [formule] donne [formule]. La formule générale a bien pour limite [formule] quand [formule], mais c'est un résultat qu'on vérifie, pas une dispense de traiter le cas. 💡 À retenir. Le conditionnement sur le premier pas transforme un problème de trajectoire en récurrence linéaire — c'est le réflexe pour toute chaîne absorbante. Et retenir que la durée moyenne du jeu vaut [formule] dans le cas équitable, soit [formule] coups ici : la ruine y est lente, alors qu'elle est rapide dès que le jeu est défavorable.