Soit [formule]. Calculer [formule].
Utiliser que [formule] ou le binôme de Newton.
Calculer [formule] en effectuant cent produits est hors de question à la main. Le principe général est toujours le même : décomposer [formule] en une partie simple plus une partie nilpotente, car les puissances d'une nilpotente s'arrêtent. Ici la décomposition est immédiate, et Cayley-Hamilton explique pourquoi. Le polynôme caractéristique, et ce que Cayley-Hamilton en tire. [formule] étant triangulaire, ses valeurs propres se lisent sur la diagonale : [formule]. Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que [formule], c'est-à-dire [formule] Autrement dit [formule] est nilpotente d'indice [formule] — et l'on n'a pas eu besoin de la calculer pour le savoir. Vérification directe. [formule] et [formule], conformément à la prédiction. Le binôme, licite parce que [formule] et [formule] commutent. [formule], et [formule] commute avec tout, donc [formule] tous les termes d'indice [formule] étant nuls. D'où [formule] Contrôle : la formule générale [formule] se vérifie par récurrence en une ligne, [formule], et elle est cohérente en [formule] et [formule]. Pourquoi il fallait passer par là : [formule] n'est pas diagonalisable. Sa seule valeur propre est [formule], de multiplicité algébrique [formule] ; mais le sous-espace propre [formule] est de dimension [formule]. Multiplicité géométrique [formule] multiplicité algébrique [formule] : [formule] n'est pas diagonalisable. Il n'existe donc aucune base où le calcul de [formule] se réduirait à élever des scalaires à la puissance [formule] — c'est précisément la situation que la partie nilpotente est faite pour traiter. Ce que la forme du résultat révèle. [formule] croît linéairement en [formule], alors qu'on attend d'ordinaire une croissance en [formule]. La raison est que l'unique valeur propre vaut [formule] : pour [formule] avec [formule], on aurait [formule], et c'est le facteur [formule] apporté par le bloc de Jordan qui module la croissance exponentielle. C'est cette matrice — le bloc de Jordan [formule] — qui explique pourquoi les solutions d'une récurrence à racine caractéristique double portent un terme en [formule]. ⚠️ Le binôme de Newton matriciel exige la COMMUTATION. [formule] est faux en général : dès [formule], [formule], qui ne vaut [formule] que si [formule]. Ici la décomposition [formule] est sûre puisque l'identité commute avec tout — mais dans le cas général de la décomposition de Dunford [formule], la commutation de [formule] et [formule] fait partie de l'énoncé du théorème, et c'est elle qui autorise le binôme. 💡 À retenir. La méthode générale pour [formule] : écrire [formule] avec [formule] diagonalisable, [formule] nilpotente et [formule] (décomposition de Dunford), puis appliquer le binôme, qui s'arrête à l'indice de nilpotence. Cayley-Hamilton sert à borner cet indice sans calcul, et plus généralement à exprimer toute puissance [formule] avec [formule] en fonction de [formule] — ce qui est la clé du calcul des inverses et des exponentielles de matrices.