Construire explicitement le plongement de Cayley de [formule] dans [formule].
Action de [formule] sur lui-même par translation à gauche.
Le calcul est court, et le théorème qu'il illustre est à la fois fondamental et décevant : tout groupe fini se plonge dans un groupe symétrique, mais le plongement obtenu est très peu économique. Voir sur un exemple minuscule à quel point est le meilleur moyen de comprendre sa portée réelle. Rappel — théorème de Cayley. Tout groupe [formule] agit sur lui-même par translation à gauche, [formule]. Chaque [formule] est une bijection de [formule] (d'inverse [formule]), et [formule] : on obtient un morphisme [formule]. Il est injectif car [formule] force [formule]. Donc [formule] se plonge dans [formule] avec [formule]. Construction pour [formule]. Numérotons les éléments [formule] par les positions [formule]. La translation par [formule] envoie [formule], [formule], [formule] : c'est le cycle [formule]. La translation par [formule] est son carré, [formule]. D'où [formule] La propriété structurelle du plongement : il est SANS POINT FIXE. Pour [formule], la permutation [formule] ne fixe aucun élément — [formule] entraînerait [formule]. Une permutation sans point fixe se décompose en cycles de longueur [formule], et ici tous ces cycles ont la même longueur, égale à l'ordre de [formule]. On le voit sur l'exemple : [formule] est un [formule]-cycle unique, sans point fixe. C'est la signature de la représentation régulière, et elle permet de reconnaître qu'un sous-groupe de [formule] provient d'un plongement de Cayley. ⚠️ Le plongement est très loin d'être optimal, et l'écart explose. Cayley place [formule] dans [formule], de cardinal [formule] — pour [formule] cela donne [formule] éléments dans un groupe de [formule], ce qui reste raisonnable, mais pour [formule] c'est [formule] éléments dans un groupe de [formule]. Or [formule] se plonge en réalité dans [formule], via [formule] et deux cycles disjoints de longueurs [formule] et [formule]. Le degré minimal de représentation fidèle est un invariant nettement plus fin que [formule], et Cayley n'en donne qu'une majoration grossière. Ce que le théorème sert vraiment à faire. Sa valeur n'est pas calculatoire mais conceptuelle : il dit que les groupes de permutations ne sont pas une famille particulière de groupes, mais tous les groupes. Toute propriété vraie pour les sous-groupes de [formule] est donc vraie pour tout groupe fini — ce qui autorise à raisonner sur des permutations sans perte de généralité, et fonde la stratégie « faire agir le groupe » qui traverse toute la théorie. 💡 À retenir. Cayley est le cas particulier, pour l'action par translation sur [formule] tout entier, d'un principe général : toute action de [formule] sur un ensemble [formule] donne un morphisme [formule], dont le noyau est l'intersection des stabilisateurs. Choisir [formule] plus petit que [formule] — par exemple les classes modulo un sous-groupe, ou les [formule]-Sylow — donne des morphismes bien plus exploitables, et c'est ainsi qu'on démontre qu'un groupe d'un ordre donné n'est pas simple.