Montrer que pour [formule] : [formule].
Développer [formule] pour tout [formule].
La démonstration est faite en détail dans l'exercice voisin, cas dégénéré compris. On la reprend ici brièvement, dans [formule], pour aller à ce qui l'utilise : c'est de Cauchy-Schwarz que découlent l'inégalité triangulaire, la notion même d'angle, et une famille d'inégalités numériques classiques. La démonstration, en quatre lignes. Si [formule] l'inégalité s'écrit [formule]. Sinon, pour tout [formule] réel, [formule] est un trinôme de coefficient dominant [formule], de signe constant : son discriminant est négatif ou nul, [formule] d'où [formule], avec égalité si et seulement si [formule] est liée. Première conséquence : l'inégalité triangulaire. Elle n'est pas un axiome vérifié à part, elle découle de Cauchy-Schwarz : [formule] C'est ce qui fait de [formule] une norme, et donc de [formule] un espace métrique. Sans Cauchy-Schwarz, rien ne garantirait que la racine d'une forme quadratique définie positive vérifie l'inégalité triangulaire. Deuxième conséquence : l'angle. L'inégalité dit exactement que [formule] ce qui permet de définir [formule] de ce quotient. La notion d'angle entre deux vecteurs n'existe donc que parce que Cauchy-Schwarz garantit que le quotient reste dans le domaine de l'arccosinus — en dimension quelconque, où aucun dessin ne vient au secours. Deux inégalités numériques classiques, immédiates. En prenant [formule] : [formule] Sur [formule] : [formule]. ✓ Et en prenant [formule], [formule] pour des [formule] : [formule] qui est l'inégalité entre moyenne arithmétique et moyenne harmonique. Sur le même exemple : [formule]. ✓ ⚠️ Le cas d'égalité est colinéaire, pas égal. [formule] signifie que [formule] est liée, ce qui inclut [formule] avec [formule] négatif — auquel cas le produit scalaire est négatif et c'est la valeur absolue qui rétablit l'égalité. En conséquence, l'égalité dans l'inégalité triangulaire, elle, est plus restrictive : [formule] exige [formule], donc [formule] avec [formule] — vecteurs de même sens, pas seulement colinéaires. 💡 À retenir. Cauchy-Schwarz est l'inégalité dont tout le reste découle en géométrie euclidienne : norme, angle, projection orthogonale, et l'inégalité de Bessel. Sa forme intégrale [formule] est le même énoncé dans [formule], et sa généralisation aux exposants conjugués est l'inégalité de Hölder, dont elle est le cas [formule].