Soit y' [formule] avec y(0) = 1. Montrer que la solution explose en temps fini et déterminer le temps d'explosion.
Séparez les variables pour l'expression, mais dites d'abord ce qui garantit qu'il y a UNE solution maximale — et pourquoi [formule] ne s'annule pas.
Deux questions se cachent ici, et il faut les séparer. Résoudre l'équation se fait à la main, par séparation des variables. Mais dire que la solution « explose en temps fini » suppose qu'on sache qu'elle est maximale et unique — c'est Cauchy-Lipschitz qui le donne, et sans lui « la » solution n'a pas de sens. Rappel — Théorème de Cauchy-Lipschitz. Si [formule] est continue et localement lipschitzienne en [formule], le problème [formule], [formule] admet une unique solution maximale, définie sur un intervalle ouvert [formule]. Et le critère d'explosion : si [formule], alors [formule] quand [formule] — une solution maximale ne s'arrête jamais sans raison. Ici [formule] est polynomiale, donc [formule], donc localement lipschitzienne en [formule] : Cauchy-Lipschitz s'applique et il existe une unique solution maximale au problème [formule], [formule]. Résolution. [formule] et [formule] est continue, donc [formule] sur un voisinage de [formule] : on peut diviser par [formule]. L'équation devient [formule], qui s'intègre en [formule]. La condition [formule] donne [formule]. D'où [formule], soit [formule] — et cette expression reste bien [formule] pour [formule], ce qui valide a posteriori la division faite à l'étape précédente. Explosion. [formule] est définie et [formule] sur [formule], et [formule] quand [formule]. Elle ne se prolonge donc pas au-delà : l'intervalle maximal est [formule] et le temps d'explosion vaut [formule]. ⚠️ L'erreur classique. Diviser par [formule] sans dire pourquoi [formule] ne s'annule pas. Ce n'est pas une formalité : [formule] est aussi solution de [formule], et c'est précisément l'unicité de Cauchy-Lipschitz qui interdit à notre solution de la rencontrer. Second piège : conclure de [formule] que « la solution n'existe pas après [formule] » — elle existe, sur un autre intervalle, mais ce n'est plus la même solution maximale. 💡 À retenir. Une non-linéarité en [formule] suffit à faire exploser une solution en temps fini, alors qu'une équation linéaire à coefficients continus a toujours des solutions globales. Et le schéma est toujours le même : Cauchy-Lipschitz donne l'unicité et la maximalité, le calcul donne la formule, le critère d'explosion relie les deux.