Calculer [formule] où [formule].
Formule [formule] pour [formule] premier.
Le calcul tient en une ligne une fois la formule connue. Ce qu'il faut savoir en plus, c'est d'où elle vient — d'un comptage par inclusion-exclusion — et surtout comment la contrôler, car une erreur de factorisation ou un facteur premier oublié produit un résultat parfaitement plausible. Rappel — la formule et son origine. Pour [formule], [formule] Elle se lit comme une inclusion-exclusion : parmi les [formule] entiers de [formule], une proportion [formule] est divisible par [formule], donc il en reste une proportion [formule] ; les événements « divisible par [formule] » pour des premiers distincts étant indépendants au sens du comptage, les proportions se multiplient. Le produit ne porte que sur les premiers distincts, jamais sur les exposants. Factorisation. [formule]. Les premiers en jeu sont donc [formule], [formule] et [formule]. Contrôle : [formule]. ✓ Le calcul. [formule] En simplifiant pas à pas plutôt qu'en multipliant les fractions : [formule]. Donc [formule]. Deux contrôles indépendants. Par multiplicativité — [formule] est multiplicative sur les entiers premiers entre eux — on peut décomposer autrement : [formule], [formule], [formule], et [formule]. ✓ Second contrôle, valable pour tout [formule] : [formule], et la somme sur les [formule] diviseurs de [formule] rend bien [formule]. C'est la relation qui exprime que chaque entier de [formule] a un unique pgcd avec [formule]. ⚠️ Le piège est l'exposant, dans les deux sens. Écrire [formule] en croyant tenir compte des multiplicités donne [formule] — faux. Inversement, oublier un facteur premier — croire [formule] sans décomposer [formule] — donnerait [formule], tout aussi plausible. La formule pour une puissance d'un seul premier est [formule] : l'exposant intervient dans le facteur [formule] de tête, pas dans le nombre de parenthèses. 💡 À retenir. Trois usages qui reviennent constamment. Le théorème d'Euler : [formule] dès que [formule] — dont le petit théorème de Fermat est le cas [formule] premier. La structure : [formule], donc [formule] compte les inversibles. Et le chiffrement RSA, dont la clé de déchiffrement est l'inverse de la clé publique modulo [formule] — sa sécurité reposant sur le fait que calculer [formule] sans connaître la factorisation de [formule] est aussi difficile que factoriser.