Soit ABC triangle. Exprimer le centre de gravité G en coordonnées barycentriques.
G = bar(A,1), (B,1), (C,1).
La réponse est immédiate, mais la notion mérite d'être posée correctement : les coordonnées barycentriques sont homogènes, définies à un facteur multiplicatif près. Écrire [formule] ou [formule] désigne le même point, et savoir cela évite l'essentiel des confusions du chapitre. Rappel — définition. Étant donné trois points non alignés [formule], tout point [formule] du plan s'écrit de façon unique [formule] Le triplet [formule] est déterminé à un facteur non nul près — d'où la notation avec des deux-points. On parle de coordonnées normalisées lorsqu'on impose [formule], ce qui les rend uniques. Le centre de gravité. Par définition, [formule] est l'isobarycentre : [formule] soit [formule] en coordonnées normalisées. Les trois masses sont égales, ce qui est exactement ce que « iso-barycentre » signifie. Le rapport [formule], démontré en une ligne. Soit [formule] le milieu de [formule], donc [formule]. Alors [formule] Le centre de gravité est donc aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet, c'est-à-dire qu'il la divise dans le rapport [formule]. Et l'associativité du barycentre donne au passage la concourance des médianes : [formule] est le barycentre de [formule] (masse [formule]) et de [formule] (masse [formule]), donc il est sur [formule] — le même argument valant pour les trois. Les autres centres remarquables, en barycentriques. Avec [formule], [formule], [formule] : [formule] C'est là tout l'intérêt du système : les centres classiques y ont des expressions intrinsèques, indépendantes de tout repère. ⚠️ Le signe des coordonnées dit où se trouve le point. Toutes positives : [formule] est à l'intérieur du triangle. Une négative : [formule] est de l'autre côté du côté opposé au sommet correspondant. Une nulle : [formule] est sur ce côté. Ce n'est donc pas un détail technique — c'est ce qui rend les barycentriques utiles pour tester l'appartenance à un triangle, en informatique graphique notamment. 💡 À retenir. Le point fondamental est l'associativité : on peut regrouper des masses et remplacer un sous-ensemble par son barycentre affecté de la masse totale. C'est elle qui démontre la concourance des médianes, des bissectrices, et plus généralement tous les théorèmes de concourance élémentaires — Ceva et Ménélaüs s'énoncent d'ailleurs directement en barycentriques.