Soit [formule] linéaire continue bijective entre espaces de Banach. Montrer que [formule] est continue.
Utiliser Baire pour montrer que [formule] contient une boule ouverte.
[formule]. Comme [formule] surjectif : [formule]. Par Baire ([formule] Banach), [formule] : [formule] a un intérieur non vide. Par linéarité : [formule] contient [formule] pour un [formule]. Lemme d'approximation : [formule] contient [formule] (séries géométriques dans Banach). Donc [formule] est ouverte et [formule] est continue. [formule]. [formule]