Soit [formule] linéaire continue bijective entre espaces de Banach. Montrer que [formule] est continue.
Baire ne donne qu'un résultat sur l'ADHÉRENCE de l'image d'une boule. Comment obtenir un antécédent exact — et quelle complétude sert alors ?
Le théorème est remarquable : la continuité de l'inverse est gratuite, elle découle de la seule bijectivité. La démonstration se fait en deux temps qu'il ne faut pas confondre — Baire donne un résultat sur l'adhérence de l'image d'une boule, et c'est un second argument, tout aussi essentiel, qui retire cette adhérence. Rappel — Les deux ingrédients, et où chacun s'applique. Baire s'applique à [formule], qui doit être complet ; l'argument de séries, à [formule], qui doit l'être aussi. Les deux hypothèses de complétude servent donc à des endroits différents, et retirer l'une ou l'autre fait tomber le théorème. Étape 1 — Baire. [formule], et [formule] étant surjective, [formule]. [formule] étant complet, Baire interdit que tous ces fermés soient d'intérieur vide : l'un au moins, disons [formule], a un point intérieur. Par linéarité et symétrie, [formule] contient une boule [formule]. Étape 2 — retirer l'adhérence, et c'est le vrai travail. On sait seulement que tout [formule] de norme [formule] est approché par des [formule] avec [formule]. On construit alors [formule] exactement : on choisit [formule] avec [formule], puis [formule] avec [formule], et ainsi de suite en divisant l'erreur par deux à chaque pas. La série [formule] est absolument convergente ([formule]) donc converge — c'est ici que la complétude de [formule] sert — et sa somme [formule] vérifie [formule] avec [formule]. Conclusion. [formule], donc [formule] est ouverte. Pour [formule], l'antécédent vérifie [formule], d'où [formule] : l'inverse est continu. ⚠️ L'erreur classique. S'arrêter à l'étape 1 en croyant que [formule] suffit. Ce n'est pas le cas : une adhérence ne donne que des approximations, et sans l'étape 2 on n'a aucun antécédent exact. Second oubli : la complétude de [formule]. Le théorème est faux sans elle — prendre [formule] l'espace des suites à support fini muni de [formule] (non complet), [formule] le même espace, et [formule] : [formule] est continue, bijective, et son inverse [formule] n'est pas borné. 💡 À retenir. Trois théorèmes reposent sur Baire et vont ensemble : application ouverte, graphe fermé (qui s'en déduit) et Banach-Steinhaus. Tous trois échangent une hypothèse de complétude contre une conclusion de continuité, et tous trois tombent sans elle — ce sont les résultats qui font la valeur de la notion d'espace de Banach.