Factorialité de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

Énoncé

Montrer que [formule] n'est pas factoriel en exhibant deux factorisations de [formule].

Indication

Vérifier que [formule], [formule], [formule], [formule] sont irréductibles.

Solution

[formule]. Norme : [formule]. [formule], [formule], [formule]. **[formule] irréductible** : si [formule] avec [formule] non inversibles, [formule]. [formule] : [formule] impossible dans [formule]. De même [formule] et [formule] sont irréductibles (norme sans factorisation). Deux factorisations en irréductibles non associés : [formule] n'est pas factoriel. [formule]