Montrer que [formule] n'est pas factoriel en exhibant deux factorisations de [formule].
Vérifier que [formule], [formule], [formule], [formule] sont irréductibles.
Exhiber deux factorisations ne suffit pas : encore faut-il montrer que les facteurs sont irréductibles et non associés, faute de quoi les deux écritures pourraient être la même à des unités près. Et le vrai contenu de l'exemple est ailleurs — il montre qu'irréductible et premier sont deux notions distinctes. Rappel — la norme comme outil. Sur [formule], posons [formule]. Elle est multiplicative et à valeurs entières positives. Deux conséquences immédiates : [formule] est inversible si et seulement si [formule], ce qui donne [formule], [formule], donc les unités sont exactement [formule] ; et une factorisation [formule] impose [formule]. Les deux factorisations. [formule] la seconde se vérifiant par [formule]. Les normes sont [formule], [formule], [formule], de produit [formule] dans les deux cas — cohérent avec [formule]. Irréductibilité, par la norme. Si [formule] avec [formule] non inversibles, alors [formule] avec les deux facteurs [formule], donc [formule]. Or [formule] n'a aucune solution entière : si [formule] la norme vaut au moins [formule], et si [formule] il faudrait [formule]. Donc [formule] est irréductible. Le même argument s'applique à [formule] (il faudrait [formule], également impossible) et à [formule] (il faudrait [formule]). Non associés. Deux éléments sont associés s'ils diffèrent d'une unité, donc ici d'un signe : ils ont alors la même norme. Or [formule] et [formule]. Les deux factorisations sont donc réellement distinctes, et [formule] n'est pas factoriel. Ce que l'exemple montre vraiment : irréductible n'est pas premier. Un élément [formule] est premier si [formule] entraîne [formule] ou [formule] ; il est irréductible s'il ne se factorise qu'en un inversible et un associé. Premier entraîne toujours irréductible ; la réciproque n'est vraie que dans les anneaux factoriels — et c'est même une caractérisation. Ici [formule] est irréductible mais pas premier : il divise [formule] sans diviser aucun des deux facteurs, puisque [formule] ⚠️ La norme prouve l'irréductibilité, jamais la primalité. L'argument « [formule] est impossible » est une contrainte sur les factorisations, donc sur l'irréductibilité seule. Croire avoir montré que [formule] est premier parce qu'on a montré qu'il est irréductible, c'est utiliser sans le dire l'équivalence qui n'a lieu que dans un anneau factoriel — c'est-à-dire supposer ce qu'on cherche à réfuter. 💡 À retenir. La hiérarchie euclidien [formule] principal [formule] factoriel [formule] intègre, avec des implications strictes. [formule] est intègre non factoriel. Le défaut se mesure par le nombre de classes de [formule], qui vaut [formule] : c'est le plus petit défaut possible, et il suffit à faire échouer l'unicité. La théorie des idéaux de Dedekind restaure l'unicité au niveau des idéaux — ici [formule] —, et c'est précisément pour cela qu'elle a été inventée.