Effectuer la division euclidienne de [formule] par [formule] dans [formule].
Calculer [formule] dans [formule] puis arrondir.
L'énoncé tombe sur une division exacte, ce qui est instructif — on découvre que [formule] divise [formule] — mais laisse de côté ce qui fait la difficulté de la division euclidienne dans [formule] : l'arrondi, et la majoration du reste qui le justifie. On traitera donc aussi un cas non exact. Rappel — pourquoi [formule] est euclidien. Pour [formule] avec [formule], on calcule [formule] dans [formule], puis on arrondit chaque coordonnée à l'entier le plus proche pour obtenir [formule], et l'on pose [formule]. L'erreur d'arrondi vaut au plus [formule] par coordonnée, donc [formule] La norme est donc un stathme euclidien, et l'on obtient au passage une majoration deux fois meilleure que nécessaire. Le cas de l'énoncé. [formule] Le quotient est exact — aucun arrondi n'est nécessaire — donc [formule] et [formule] : [formule] divise [formule] dans [formule]. Contrôle par les normes, qui est le plus rapide : [formule] et [formule], or [formule]. La divisibilité des normes est nécessaire — si elle avait échoué, on aurait su sans calcul que [formule]. Un cas non exact, pour voir l'arrondi à l'œuvre. Prenons le même [formule] et [formule] : [formule] On arrondit : [formule]. Alors [formule] et [formule] — et même [formule], conformément à la majoration ci-dessus. ⚠️ Le quotient n'est PAS unique dans [formule], contrairement à [formule] où l'on impose [formule]. Quand une coordonnée de [formule] tombe sur un demi-entier, deux arrondis conviennent. Exemple minimal : [formule], [formule], où [formule] s'arrondit en [formule] ou en [formule], donnant [formule] ou [formule] — les deux vérifient [formule]. La définition d'anneau euclidien n'exige que l'existence d'un couple [formule], jamais son unicité, et c'est heureux. Ce que l'euclidianité entraîne. [formule] euclidien [formule] principal [formule] factoriel. Ces implications sont strictes : [formule] est principal sans être euclidien, et [formule] est factoriel sans être principal. C'est la factorialité de [formule] qui rend légitime la décomposition en sommes de deux carrés de l'exercice voisin. 💡 À retenir. La mécanique — diviser dans le corps des fractions, arrondir, majorer le reste — est exactement celle qui prouve que [formule] et les entiers d'Eisenstein sont euclidiens, et elle échoue pour [formule] : le réseau y est trop étiré, un point de [formule] peut être à distance [formule] du réseau, et la majoration du reste tombe.