Le théorème de représentation de Riesz étant établi, préciser la forme que prend l'identification [formule] dans le cas complexe, et en déduire l'existence de l'adjoint puis le théorème de Lax-Milgram. Pourquoi rien de tout cela ne vaut-il dans un Banach quelconque ?
Où le conjugué apparaît-il ? Et que devient l'énoncé si la forme bilinéaire n'est plus symétrique, mais reste coercive ?
Le théorème de représentation est établi dans l'exercice voisin. On s'intéresse ici à ce qu'il coûte et rapporte : la subtilité du cas complexe, où l'identification [formule] est antilinéaire, et sa généralisation à des formes bilinéaires non symétriques — le théorème de Lax-Milgram, qui est l'outil de base des équations aux dérivées partielles. Rappel — La convention hermitienne. Sur un Hilbert complexe, le produit scalaire est linéaire en la première variable et antilinéaire en la seconde : [formule]. C'est cette antilinéarité qui va se propager à l'identification, et l'oublier fait apparaître un conjugué parasite. Où le conjugué apparaît. En reprenant la démonstration avec [formule] de norme [formule], on obtient [formule]. On cherche [formule] avec [formule] ; en écrivant [formule], il vient [formule], donc [formule] et [formule]. Le conjugué n'est pas décoratif : sans lui, [formule] et [formule] diffèrent. L'identification est ANTILINÉAIRE. L'application [formule] vérifie [formule] : c'est une bijection isométrique antilinéaire de [formule] sur [formule], pas un isomorphisme d'espaces vectoriels complexes. Dans le cas réel, la question ne se pose pas et [formule] est linéaire. Première conséquence : l'adjoint. Pour [formule] linéaire continu, la forme [formule] est continue, donc représentée par un unique vecteur qu'on note [formule]. Riesz fabrique ainsi l'opérateur adjoint, caractérisé par [formule] — objet qui n'existe pas dans un Banach quelconque. Seconde conséquence : Lax-Milgram. Si [formule] est une forme bilinéaire continue et coercive ([formule]), alors pour toute [formule] il existe un unique [formule] avec [formule] pour tout [formule]. Riesz en est le cas particulier [formule] ; la coercivité y remplace la symétrie, ce qui est exactement ce dont on a besoin pour les problèmes elliptiques non symétriques. ⚠️ L'erreur classique, et elle est de portée générale : croire que « dual = espace lui-même ». C'est vrai dans un Hilbert et faux dès qu'on en sort. Le dual de [formule] (suites tendant vers [formule]) est [formule], et le dual de [formule] est [formule] : en itérant on ne revient pas au point de départ, donc [formule] et [formule] ne sont pas réflexifs. Riesz repose sur l'existence du supplémentaire orthogonal, qui n'a de sens qu'avec un produit scalaire. 💡 À retenir. Riesz est ce qui rend la théorie hilbertienne si maniable : il donne l'adjoint, la réflexivité, Lax-Milgram, et la formulation variationnelle des EDP. Le prix est la structure euclidienne — et la question « mon espace est-il un Hilbert ? » se ramène en pratique à « ma norme vérifie-t-elle l'identité du parallélogramme ? ».