Trace et commutateur

Énoncé

Montrer que [formule] pour toutes matrices [formule]. En déduire que [formule].

Indication

Linéarité et cyclicité de la trace.

Solution

[formule]. Or [formule]. Donc [formule]. Si [formule], alors [formule]. Contradiction : il n'existe pas de matrices vérifiant [formule] sur un corps de caractéristique [formule]. [formule]