Montrer que [formule] pour toutes matrices [formule]. En déduire que [formule].
Linéarité et cyclicité de la trace.
La démonstration tient en deux lignes, et la conclusion est plus intéressante qu'il n'y paraît : elle dit qu'une certaine relation algébrique est impossible en dimension finie. Or cette relation est fondamentale ailleurs — elle est au cœur de la mécanique quantique. Comprendre pourquoi elle échoue ici, c'est comprendre ce que le théorème exclut. La cyclicité de la trace. [formule] L'échange des deux sommations est licite, elles sont finies. Noter que [formule] et [formule] n'ont aucune raison d'être égales — c'est seulement leur trace qui l'est. Par linéarité, [formule] La conséquence. Si l'on avait [formule], en prenant la trace on obtiendrait [formule]. C'est absurde dès que [formule] dans le corps de base : aucun couple de matrices ne réalise le commutateur identité. ⚠️ Mais la conclusion dépend de la CARACTÉRISTIQUE, et l'énoncé doit le dire. L'égalité [formule] n'est absurde que si [formule] est non nul dans [formule]. En caractéristique [formule] divisant [formule], elle est vraie et l'argument s'effondre — et l'obstruction disparaît réellement. Sur [formule] avec [formule] : [formule] puisque [formule] modulo [formule]. L'énoncé est donc faux en caractéristique [formule]. ⚠️⚠️ Et il est faux en dimension INFINIE, ce qui est le vrai enjeu. Sur l'espace [formule], prenons [formule] la dérivation et [formule] la multiplication par [formule]. Alors pour tout polynôme [formule] : [formule] donc [formule]. La relation est parfaitement réalisable — simplement, ces opérateurs n'ont pas de trace, l'argument n'ayant plus de prise. C'est la relation de commutation canonique [formule] de la mécanique quantique : le théorème ci-dessus démontre qu'elle interdit toute réalisation en dimension finie, donc que l'espace des états d'une particule ne peut pas être de dimension finie. Ce que la trace est, structurellement. L'espace engendré par les commutateurs [formule] est exactement [formule], le noyau de la trace — et la trace est, à un scalaire près, l'unique forme linéaire sur [formule] vérifiant [formule]. Elle est donc l'obstruction canonique : une matrice est un commutateur si et seulement si sa trace est nulle (théorème de Shoda), résultat nettement plus fort que l'énoncé demandé. 💡 À retenir. Trois usages de la cyclicité. Elle rend la trace invariante par similitude — [formule] —, donc bien définie pour un endomorphisme sans référence à une base. Elle donne [formule], somme des valeurs propres avec multiplicité. Et elle fait de [formule] un produit scalaire, celui dont la norme de Frobenius dérive.